第二章 珠算加减法

【基本要求】

1.了解加减法的运算顺序及规则

2.熟悉加减法口诀

3.掌握有诀加减算法

4.掌握无诀加减算法

5.掌握加减法的简便算法

【考试内容】

第一节 珠算加减法原理

一、加减法的运算顺序与规则

(一)加法的运算顺序与规则

加法通常按照以下规则进行运算:(1)固定个位,在算盘中确定个位档;(2)将被加数从高位到低位依次拨入算盘,且个位数与算盘中个位档对准;(3)对准数位,将加数从高位到低位,进行同位数相加,按照“五升十进制”的原则,计算出得数。

(二)减法的运算顺序与规则

减法通常按照以下规则进行运算:(1)固定个位,在算盘中确定个位档;(2)将被减数从高位到低位依次拨入算盘,且个位数与算盘中个位档对准;(3)对准数位,将减数从高位到低位,进行同位数相减,计算出得数。

第二节 加减法有诀算发

加减法有诀算法是相对无诀算法而言。有诀是指用口诀指导加减法运算的一种方式。根据“五升十进”的规律,常用的口诀有两种:

一、珠算加减法口诀

(一)传统口诀

传统加减法口诀均为26句(如表2-1、表2-2)。

表2-1加法传统口诀表

不进位加法进位加法
直接加法凑五加法进十加法进十破五加法
一上一
二上二
三上三
四上四
五上五
六上六
七上七
八上八
九上九
一下五去四
二下五去三
三下五去二
四下五去一


一去九进一
二去八进一
三去七进一
四去六进一
五去五进一
六去四进一
七去三进一
八去二进一
九去一进一





六上一去五进一
七上二去五进一
八上三去五进一
九上四去五进一

注:1)每句口诀的第一个字代表要加的数,后面的字表示拨珠运算的过程。(2)“上几”表示拨珠靠梁。(3)“去几”表示拨珠离梁。(4)“下五”表示拨上珠靠梁。(5)“进一”表示本档相加满十,必须向前一档拨动一珠靠梁。

表2-2减法传统口诀表

不错位减法错位减法
直接减法破五减法退十减法退十补五减法
一去一
二去二
三去三
四去四
五去五
六去六
七去七
八去八
九去九
一上五去四
二上五去三
三上五去二
四上五去一


一退九进一
二退八进一
三退七进一
四退六进一
五退五进一
六退四进一
七退三进一
八退二进一
九退一进一





六退一去五进一
七退二去五进一
八退三去五进一
九退四去五进一

注:1)每句口诀的第一个字代表要减的数,后面的字表示拨珠运算的过程。(2)“上几”表示拨珠靠梁。(3)“去几”表示拨珠离梁。(4)“退一”表示拨珠离梁,前档退一,下档还十。(5)还几“表示在前一档退一当十,把减去减数后的差数加在本档上。

(二)现代口诀

与指法结合的现代加减法口诀如表2-3、表2-4。

表2-3加法现代口诀表

不进位加法进位加法
直接加凑五加进十加破五进十加
一上1
二上2
三上3
四上4
五下5
六合6
七合7
八合8
九合9
一下9
二下8
三下7
四下6


一分九进1
二分八进1
三分七进1
四分六进1
五上15
六下4进1
七下3进1
八下2进1
九下1进1





六上16
七上17
八上18
九上19

注:(1)每句口诀的第一个字代表要加的数,后面的字表示拨珠运算的过程。(2)口诀中的“合”是指拨珠指法,即拇指与食指同时拨上下珠离框靠梁。(3)口诀中的“分”是指拨珠指法,即拇指与食指同时拨上下珠离梁靠框。

表2-4减法现代口诀表

不错位减法错位减法
直接减破五减退十减退十凑五减
一下1
二下2
三下3
四下4
五上5
六分6
七分7
八分8
九分9
一上9
二上8
三上7
四上6


一退1合9
二退1合8
三退1合7
四退1合6
五下15
六退1上4
七退1上3
八退1上2
九退1上1





六下16
七下17
八下18
九下19

二、珠算加法

珠算加法有不进位和进位两种。用算盘进行加法计算时,遵循“五升十进制”规则。在“不进位加”(即本位加)中有“直接加”和“凑五加”两种计算方法;在“进位加”中有“进十加”和“进十破五加”两种计算方法。

(一)不进位加法

本档珠够加,无需进位。

1.直接加法

在算盘加算的档位上,加上1~9时,本档框珠够加,在本档上直接拨珠靠梁。

2.凑五加法

在算盘加算的档位上,上珠离框靠梁,加上1~4时,本档框珠中的下珠不够加,需要拨下上珠,并根据“凑五”的规律,把多加的数值从本档梁珠中减去。

(二)进位加法

本档珠不够加,需要进位。

1.进十加法

在算盘加算的档位上,加上1~9需进位时,需在前一档进1,在本档中减去补数,本档下珠够减补数,在本档位上直接减补数。

2.进十破五加法

在算盘加算的档位上,已有上珠靠梁,要加上6~9时,需在前一档进1,在本档减去补数,本档下珠不够减补数,需要拨去上珠,并根据“破五”的规则,把多减的数值在本档中加上。

三、珠算减法

常用的珠算减法有不借位和借位两种。用算盘进行减法计算时,“不借位减”(即本位减)中有“直接减”和“破五减”两种计算方法;在“借位减”中有“借十减”和“借十补五减”两种计算方法。

(一)不借位减法

本档珠够减,无需借位。

1.直接减法

在算盘减算的档位上,减去1~9时,本档梁珠够减,在本档位上直接拨珠离梁。

2.破五减法

在算盘减算的档位上,已有上珠靠梁,要减去1~4时,本档下珠不够减,需要拨去上珠,并根据“破五”的规则。把多减的数值在本档中加上。

(二)借位减法

本档珠不够减,需要借位。

1.借十减法

在算盘减算的档位上,减去1~9不够减时,必须从前一档退1,在本档加上补数,本档框珠中的下珠够加时,直接拨珠加上补数。

2.借十凑五减法

在算盘减算的档位上,上珠离梁,减去6~9不够减时,必须从前一档退1,在本档加上补数;当本档框珠中的下珠不够加,根据“凑五”的规则,把多加的数值在本档梁珠中减去。

四、连加连减法

(一)连加法

连加法就是将三个以上的数连续相加,求出总和的一种计算方法。它的运算性质和运算顺序均与两个数的加法相同。运算时,先将第一、第二两个数相加,求出它们的和,然后依次加上第三个加数、第四个加数……,直至求出总和。

(二)连减法

连减法就是连续减去两个以上的数求差的一种计算方法。它的运算性质和运算顺序均与两个数的减法相同。运算时,先将第一和第二两个数相减,求出它们的差,然后再用差依次减去第三个减数、第四个减数……,直至求出最后的差。

第三节 加减法无诀算法

珠算加减法无诀算法是相对有诀而言。无诀是指不用口诀,直接利用凑数和补数进行计算的加减法。

传统加减口诀不易理解、繁琐难记,还要一边想口诀一边打算盘,养成习惯影响计算速度,随着对“五升十进制”规则的理解,为提高珠算加减法学习效率,现阶段又多采用无诀法。

一、常用无诀法

(一)无诀加法

珠算无诀加法的要点是:加看框珠,够加直加;下加不够,加五减凑;本档满十,进一减补。具体包括三种方法:

1.直加法

加看框珠,够加直加。两数相加时,被加数拨入盘后,如果框珠大于或等于加数且下珠够加,就直接拨珠加上加数。

2.满五加法

下加不够,加五减凑。两数相加时,被加数拨入盘后,如果梁珠大于或等于加数且下珠不够加,本档下珠不够用,必须拨下一个上珠,将多加的数从靠梁的下珠中减去,即减去加数的凑数。

3.进位加法

本档满十,进一减补。两数相加时,被加数拨入盘后,如果框珠小于加数(即本档满十),则必须进位,将进位多加的数减去,即减去加数的补数。

(二)无诀减法

珠算无诀减法的要点是:减看梁珠,够减直减;下减不够,减五加凑;本档不够,退一加补。具体包括三种方法:

1.直减法

减看梁珠,够减直减。两数相减时,被减数拨入盘后,如果梁珠大于或等于减数且下珠够减,就直接拨珠减去减数。

2.破五减法

下减不够,减五加凑。两数相减时,被减数拨入盘后,如果梁珠大于或等于减数且下珠不够减,本档下珠不够用,必须拨去一个梁珠,将多减的数从离梁的下珠中加上,即加上减数的凑数。

3.退位减法

本档不够,退一加补。两数相减时,被减数拨入盘后,如果梁珠小于减数,则必须从前档退一,将退位多减的数加上,即加上减数的补数。

二、“一学两会”无诀法

“一学两会”即加减法同步教学,加减法同时学会。该法将基本加法分为直接加、凑5加、进位加三类,基本减法分为直接减、破5减、退位减三类;根据五的组合和分解规律来理解凑5加和破5减,根据十的组合和分解规律来理解进位加和退位减。

该法用简单的6句话代替加减法的26句口诀:(1)加法“加看框珠,够加直加;下加不够,加5减凑;本档满十,进1减补”;(2)减法“减看梁珠,够减直减;下减不够,减5加凑;本档不够,退1加补”。

这种“一学两会”无诀法,可使学习者在打算盘时摆脱口诀的束缚,“见子说话”形成条件反射,效果比用口诀好。

(一)直接加、直接减

这是最简明、最好算的加减法运算,约占加减计算量的一半,它只需要在本档计算:加看框珠,够加直接加;减看梁珠,够减直接减。

(二)凑5加、破5减

这是关系凑5和破5的心算,约占加减计算量的二成,也在本档计算,要记住两组数的组合与分解:下加不够,加5减凑;下减不够,减5加凑。

(三)进1加、退1减

这是关系进1和退1的心算,约占加减计算量的三成,在本档和前档计算,要记住五组数的组合与分解:本档满十,进1减补;本档不够,退1加补。

三、“五种运珠”形式无诀法

珠算加减法的大原则是“五升十进”、左高右低,除直加、直减外,都是加中带减、减中带加,交叉进行,算珠靠梁、离梁的运动轨迹具体表现为以下五种不同的形式,因此,根据运珠形式进行加减法的无诀运算,不仅简明易会,而且能够快速形成心算能力。这正是中华珠算文化高明之处。

(一)直加、直减

直加、直减就是在算盘每档上直接加上或减去与该档“上一下四”数值相同的数字。

空盘时,上几是直加;满盘时,去几是直减。

盘上有珠,数未满9,空几就可加几,够减就可减几。下面用“+、-”符号代替加、减文字表述。

(二)下珠不够,加5减凑或减5加凑

1.加5减凑。

梁下只有四颗算珠都靠梁,才是“4”,4+1出现“下珠不够”,用上珠“以1代5”,思维“加5减凑”。凑5包括1+4、2+3、3+2、4+1。

2.减5加凑。

梁上只有一颗上珠,其值是固定的,“以1代5”,减比“5”小的数,上下互为借助。

当盘上有6、7、8时,不能直减,要借“5”调和,取得平衡。

(三)本档不够,进位减补或退位加补

1.进位减补

档上有某数(含1~9)再加大于9,就借助左档“以1当10”平衡,形成10的互补。

2.退位加补

本档有数直减不够,从左档借用,左退右补。

(四)本档已满,进位去5加凑

5+6可用+10-5+15+7可用+10-5+2

5+8可用+10-5+35+9可用+10-5+4

(五)本档不足,退位加5减凑如上面四题的反运算:

11-6可用-10+5-112-7可用-10+5-2

13-8可用-10+5-314-9可用-10+5-4

第四节 加减混合算法

加减混合算题,如果是竖式的,只有减数才标有减号“-”,而加数的符号“+”则省略。其算法有两种:

一、逐笔计算

逐笔计算的方法是按各个数的顺序依次逐笔计算。这种算法要注意看清、记准数字前面的符号,否则容易出现差错。

二、归类计算

归类计算的方法一般是先用加法把所有的加数算完,然后才用减法按顺序减去各个减数。这种算法的思路单一,因而准确率较高,但速度较慢。

第五节 加减法的简便算法

一、灵活运用加法运算律

加法的运算遵循交换律和结合律,若干个数相加,交换被加数与加数的位置,或者将其中几个数结合起来相加,其和不变。因此,采用交换律和结合律能够有效减少拨珠的次数,实现简便运算。

二、补数加减法

(一)补数加法

在珠算加法运算中,当加数接近10(10的正整数次幂)时,利用补数的关系进行运算,可以提高计算速度。

(二)补数减法

在珠算减法运算中,当减数接近10(10的正整数次幂)时,利用补数的关系进行运算,可以提高计算速度。

三、倒减法

倒减法,又称借减法,是指在加减运算中,遇到被减数小于减数不够减时,利用虚借1的方法,加大被减数继续运算。其运算方法有三种情况:

(一)够还借数的算法

被减数小于减数不够减时,就在不够减的前一档虚借“1”(即加上“1”)来减,一直运算下去。如果发现够还借数,就及时偿还所借的数,在哪一档借就在哪一档还,其结果是盘上数,为正数。

(二)不够还借数的算法

经过倒减,算到最后,如果盘上数不够偿还所借数,结果为负数,就是框珠数。这就是上一下四珠算盘特有的“二元示数”功能。

(三)借数未还又借新数的算法

在运算过程中,借数未还又借新数时,应在原借档的前档再虚借1,及时偿还原先借的数后继续运算,即借大还小。

四、穿梭法

穿梭法,又称来回运算法,是指在珠算加减法中,单笔从左到右计算,双笔从右到左运算,直至算完为止的运算方法。

五、一目多行算法

一目多行算法常用的有一目两行算法、一目三行算法。

(一)一目两行加法

逐位心算两行的同位数之和,并将和数拨上算盘。

(二)一目三行加法

运算方法与一目两行加法基本相同,只是一目三行加法多增加了一行,难度稍大。

心算是学好一目三行珠算法的基础,心算能力的强弱直接影响计算速度。心算方法常见的有以下几种:

1.顺序算法

按数字的先后顺序计算。

2.凑十算法

三个数相加,若其中有两个数相加的和恰好是10,就先心算这两个数之和,然后加上另一个数。

3.三个相同数的算法

用3乘以相同数,即得和数。

4.两个相同数的算法

用2乘以相同数,再加上另一个数,即得和数。

5.等差数列的算法

在相加的三个数中,如果它们构成等差数列,用3乘以中数(中位数),即得和数。

6.接近等差数列的算法

在相加的三个数中,如果其中有某一个数比等差数列的对应数多1或者少1,则用3乘以中数,再加1或者减1,即得和数。

(三)一目三行弃9法

一目三行弃9法的计算方法是:前进1,中弃9,尾弃10;前不满9,直加余数;中途多几加几,差几减几;尾不满10,前退1加余数。

一目三行弃9法既可以减少拨珠次数,还可以减少心算量,适合纯加题运算,结合穿梭运算效果更好,是一种提前进位法。

(四)一目三行加减混合算法

一目三行加减混合算法的计算方法是:正负相抵,余几加几,差几减几,即各行同位数的正负数相抵后,如果是正数,在算盘上加上;如果是负数,在算盘上减去。