第三章 珠算乘法

【基本要求】

1.了解乘法的种类

2.了解乘法的运算顺序

3.熟悉乘法口诀

4.熟悉乘法的简便算法

5.掌握珠算乘法的定位方法

6.掌握常用的珠算乘法

【考试内容】

第一节 珠算乘法原理

一、乘法的种类

珠算乘法按照不同标准可以分为不同种类:(1)按适用范围可分为基本乘法和其他乘法;(2)按乘算顺序可分为前乘法和后乘法;(3)按积的位置可分为隔位乘法和不隔位乘法;(4)按是否在盘上置数可分为置数乘法和空盘乘法。

二、乘法的运算顺序

乘法的运算顺序因采用的方法不同而略有差异,如果采用“前乘法”,运算从左到右,先从被乘数的最高位乘起,依次乘到最低位;如果采用“后乘法”,运算从右到左,先从被乘数的最低位乘起,依次乘到最高位。

三、乘法口诀

乘法口诀是指导乘法运算的常用口诀。其中,包含81句口诀的乘法口诀被称为大九九口诀(如表3-1所示),只包含其中45句口诀的乘法口诀被称为小九九口诀(如表3-1粗实线左下方所示)。

表3-1大九九口诀表

  被
 口 乘
乘 诀 数

一一
01
二一
02
三一
03
四一
04
五一
05
六一
06
七一
07
八一
08
九一
09
一二
02
二二
04
三二
06
四二
08
五二
10
六二
12
七二
14
八二
16
九二
18
一三
03
二三
06
三三
09
四三
12
五三
15
六三
18
七三
21
八三
24
九三
27
一四
04
二四
08
三四
12
四四
16
五四
20
六四
24
七四
28
八四
32
九四
36
一五
05
二五
10
三五
15
四五
20
五五
25
六五
30
七五
35
八五
40
九五
45
一六
06
二六
12
三六
18
四六
24
五六
30
六六
36
七六
42
八六
48
九六
54

表3-1中的大九九口诀中共有81个积数,但由于乘法遵循交换律(如7×9和9×7的乘积均为63),所以,该表中只有45句口诀的积数是不同的,人们为了减轻记忆负担,就把重复的36句口诀删去。积数不同的45句乘法口诀被称为小九九口诀。小九九口诀先读小的因数,而不固定被乘数(实数)和乘数(法数)的位置。

大九九口诀是一套完整的口诀,能适用各种算题,计算时不用颠倒被乘数、乘数的顺序,拨珠顺序合理,既快速又不易发生差错,并且当积的个位数或十位数为零时,可以间档而不错档。所以,在珠算乘法计算中提倡采用大九九口诀。

第二节 珠算乘法的定位方法

一、乘法中的数

乘法中的数包括整数和小数。

整数是正整数、零、负整数的统称。

是指由整数部分、小数部分和小数点组成的数字。

小数包括纯小数和带小数。纯小数是指整数部分是零的小数。带小数是指整数部分是非零的小数。

二、数的位数

乘积的定位通常是以被乘数和乘数的位数为依据。数的位数共分为正位数、负位数和零位数三类。

1.正位数

一个数有几位整数,就叫做正(+)几位。

2.负位数

一个纯小数,小数点后到第一个有效数字之间有几个“0”,就叫做负(-)几位。

3.零位数

一个纯小数,小数点后到第一个有效数字之间没有零,就叫做零(0)位。

4.数的位数与盘上档位的对应

数的位数与盘上的档位具有一一对应的关系。其中,数的正一位对应个位档,依次向左递增,向右递减。

三、积的定位方法

(一)固定个位法

固定个位法又称算前定位法,它是先在算盘上定出个位档,在采用不隔位破头乘法运算时,该法根据被乘数的位数(m)与乘数的位数(n)之和(即m+n)来确定被乘数首位数的入盘档。如果二者位数和(m+n)为1,即为正一位,就将被乘数首位数置于既定的个位档上;如果位数和为2,即为正二位,就将被乘数首位数置于个位档左边的十位档上;如果位数和为0,即为零位,就将被乘数首位数置于个位档右边的十分位档上;如果位数和为-1,即为负一位,就将被乘数首位数置于个位档右边的百分位档上,其他依此类推。置数上盘进行运算后,盘上得数即为所求的积数。

在采用空盘前乘法运算时,二者位数和就是起乘档,即积数首次乘积十位数的入盘档。

(二)公式定位法

公式定位法又称算后定位法,该法先将积数的首位数与被乘数、乘数的首位数进行比较,然后以被乘数的位数(m)与乘数的位数(n)之和(即m+n)为基准来确定积数的位数。具体包括三种情形:

1.积首小,位相加

积数首位数小于被乘数或乘数的首位数时,被乘数的位数与乘数的位数之和即为积数的位数。

即:积数的位数(以下简称积位)=m+n

2.积首大,加后减1

积数首位数大于被乘数或乘数的首位数时,被乘数的位数加上乘数的位数减去1,即为积数的位数。

即:积位=m+n-1

3.首相等,比下位

如果积数、被乘数和乘数三者的首位数均相等时,就比较三者的第二位数,如果仍相等,就依次比较第三位数,依此类推,直至末位数,如果仍均相等,则视同积数首位数大。

在比较过程中,只要三者不全相等,就按照前述两种情形确定积数的位数。

第三节 基本珠算乘法

一、空盘前乘法

空盘前乘法是指两数相乘时,运算前不用在盘上置数,而是依次用乘数的首位数至末位数去乘被乘数。这种方法的要点是:

1.确定起乘档

确定首次乘积十位数应拨入的档位,被乘数与乘数均不上盘。

2.运算顺序

运算时,要默记被乘数,眼看乘数。首先依次用乘数的首位数至末位数分别去乘被乘数的首位数;接着依次用乘数的首位数至末位数分别去乘被乘数的第二位数;依此类推,直至依次用乘数的首位数至末位数分别去乘被乘数的末位数。

3.加积的档位

如果利用固定个位法,用乘数的首位数去乘被乘数的首位数时,其积的十位数加在按照固定个位法计算的被乘数与乘数位数之和的档位上,积的个位数加在其十位数的右一档上;用乘数的第二位数去乘被乘数的首位数时,乘积的记数位置,比首位数相乘相应右移一档,以后各位的乘积的记数位置依次右移。用乘数的首位数去乘被乘数的第二位数时,乘积的十位数加在按照固定个位法计算的被乘数与乘数位数之和的档位的右一档上,以后各位的乘积的记数位置依次右移;依此类推,乘数各位数去乘被乘数其他以后各位的乘积的记数位置依次右移。

如果利用公式定位法,首积的十位数加在起乘档上,个位数右移一档,乘数的第二位数及以后各位与固定个位法相同。

4.乘积

利用固定个位法时,当用乘数乘完被乘数的末位数以后,反映在算盘上的数,就是乘积;如果利用公式定位法,还需根据定位公式确定积的位数。

这种方法的优点是计算速度快,档次清楚,准确率高,不怕数位多。

二、掉尾乘法

掉尾乘法是指两数相乘时,依次用乘数的末位数至首位数去乘被乘数。这种方法的要点是:

1.置数

采用固定个位法时,确定被乘数首位数应拨入的档位,依次布入被乘数,将乘数拨入算盘右边适当的位置。

2.运算顺序

首先依次用乘数的末位数至首位数分别去乘被乘数的末位数;接着依次用乘数的末位数至首位数分别去乘被乘数的倒数第二位数;依此类推,直至依次用乘数的末位数至首位数分别去乘被乘数的首位数。

3.加积的档位

每次运算时,用乘数的第几位数去乘被乘数,其积数的个位数就加在该被乘数本档的右边第几档上,积的十位数则相应加在其个位档的左一档上。当用乘数的首位数去乘被乘数时,将被乘数本档算珠改变为其乘积的十位数。

特别需要说明的是,运算过程中,如果满十不能进位时,只能默记,乘完后再补进。

4.乘积

当用乘数乘完被乘数的首位数以后,反映在算盘上的数,就是乘积。

这种方法的优点是运算方法同笔算运算顺序相同。但掉尾乘法定位难度大,容易错档;运算顺序从右到左,很不方便,实效不佳。

三、留头乘法

留头乘法是指两数相乘时,依次用乘数的第二位数直至末位数去乘被乘数,最后用乘数的首位数去乘被乘数。这种方法的要点是:

1.置数

采用固定个位法时,确定被乘数首位数应拨入的档位,依次布入被乘数,将乘数拨入算盘右边适当的位置。

2.运算顺序

首先用乘数的第二位数、第三位数直至末位数,最后用首位数依次去乘被乘数的末位数;接着用乘数的第二位数、第三位数直至末位数,最后用首位数依次去乘被乘数的倒数第二位数;依此类推,直至用乘数的第二位数、第三位数直至末位数,最后用首位数依次去乘被乘数的首位数。

3.加积的档位

每次运算时,用乘数的第几位数去乘被乘数,其积数的个位数就加在该被乘数本档的右边第几档上,积的十位数则相应加在其个位档的左一档上。当用乘数的首位数去乘被乘数时,将被乘数本档算珠改变为其乘积的十位数。

特别需要说明的是,运算过程中,如果满十不能进位时,只能默记,乘完后再补进。

4.乘积

当用乘数乘完被乘数的首位数以后,反映在算盘上的数,即为乘积。

这种方法的优点是被乘数、乘数不用默记,比较直观,容易掌握。但留头乘法对乘数的取数码与读数顺序不一致,不能口念乘数进行运算,所以速度较慢。

四、破头乘法

破头乘法是指两数相乘时,依次用乘数的首位数至末位数去乘被乘数。这种方法的要点是:

1.置数

采用固定个位法时,确定被乘数首位数应拨入的档位,依次布入被乘数,将乘数拨入算盘右边适当的位置。熟练之后,乘数可以默记,不用上盘。

2.运算顺序

破头乘法的运算顺序与掉尾乘法相反。首先依次用乘数的首位数至末位数分别去乘被乘数的末位数;接着依次用乘数的首位数至末位数分别去乘被乘数的倒数第二位数;依此类推,直至依次用乘数的首位数至末位数分别去乘被乘数的首位数。

3.加积的档位

每次运算时,用乘数的第几位数去乘被乘数,其积数的个位数就加在该被乘数本档的右边第几档上,积的十位数则相应加在其个位档的左一档上。当用乘数的首位数去乘被乘数时,将被乘数本档算珠改变为其乘积的十位数。

4.乘积

当用乘数乘完被乘数的首位数以后,反映在算盘上的数,即为乘积。

需要注意的是,运算过程中,被乘数本档的数因相乘去掉,所以必须默记。

这种方法的优点是按乘数的自然顺序运算,从左到右拨珠,符合读数习惯,手拨乘积速度快。

五、连乘法

连乘法就是两个以上的数连续相乘,求出积数的一种计算方法。它的运算性质和运算顺序均与两个数的乘法相同。

运算时,先将第一、第二两个数相乘,求出它们的积,然后依次乘第三个数、第四个数,其他依此类推,直至求出积数。

第四节 其他珠算乘法

一、灵活运用乘法运算律

乘法的运算遵循交换律、结合律和分配律,在珠算乘法中灵活运用乘法运算律,可适当减少运算过程和拨珠次数。

二、倍数乘法

倍数乘法是指乘数是几,就在算盘上连续加几次被乘数的一种计算方法。倍数乘法运算时不用九九口诀,采用加一排数或减一排数的计算方法。它的优点是将乘法变为加减法运算,省略了口诀,提高了计算速度。

(一)层加法

当乘数是1、2、3时适用此法。即按照乘数,连续加几次被乘数。

(二)折半法

当乘数是4、5、6时适用此法。乘数如果是5,则为被乘数一半的10倍;乘数如果是4,就先按5计算,再减去一个被乘数;乘数如果是6,就先按5计算,再加上一个被乘数。

(三)凑十法

当乘数是7、8、9时适用此法。如果乘数是7、8、9时,均先按10计算,然后从乘积中按照10减去乘数的差,连续减去几次被乘数。

三、补数乘法

补数乘法是指凡两数相乘,其中有一个因数接近10的整数次幂时,可以把这个数先凑成10的乘方数或整数,利用齐数与补数的关系,用加、减和简单的乘代替繁乘。它的优点是将乘法转换为加减法和简单乘法,可以较快地计算出得数。

(一)补数加乘法

凡乘数(或被乘数)接近10的整数次幂时,而被乘数(或乘数)的各位数字均在5以上时,适合用补数加乘法。

(二)补数减乘法

凡乘数(或被乘数)接近10的整数次幂时,而被乘数(或乘数)的各位数字均在5以下时,适合用补数减乘法。

四、省乘法

1.用空盘前乘法或破头乘法计算。积数定位采用算前定位法。

2.接照要求的精确度确定压尾档。要求保留m位小数的,应计算到小数点后的第m+2位,压尾档则在小数点后的第m+3位。

3.用破头乘法置被乘数时,拨到压尾档前一档为止。

4.边乘边加积数,直至压尾档前一档为止。凡落在压尾档及后面各档的积数,一律放弃。

5.乘完后,对多算的积数尾数四舍五入。