第四章 珠算除法

【基本要求】

1.了解除法的种类

2.了解除法的运算顺序

3.熟悉除法的简便算法

4.掌握珠算除法的定位方法

5.掌握常用的珠算除法

6.掌握退商与补商

【考试内容】

第一节 珠算除法原理

一、除法的种类

除法按照估商方法的不同,分为归除法和商除法;按照立商的档位不同,又可以分为隔位除法和不隔位除法(又称挨位除法)。

按照商除法的估商方法、归除法的置商及减积法则来进行运算的一种既快又准的珠算除算方法被称为改商除法(又称为不隔位商除法)。

二、除法的运算顺序

除法的运算顺序如下:将被除数按要求布入算盘,然后采用大九九口诀,从左到右,先从被除数的首位数除起,逐位迭减试商与除数的乘积,依次除至末位数,计算出得数。

三、除法口诀

除法是乘法的逆运算,在商除法下,可以按照乘法大九九口诀估商。

第二节 珠算除法的定位方法

一、固定个位法

固定个位法,又称算前定位法,即首先在算盘上确定个位档,然后置数上盘进行运算,盘上得数即为所求的商数。

隔位除法下,被除数首位数入盘的位置是根据被除数的位数(m)与除数的位数(n)之差再减1(即m-n-1)来确定,如果差为1(即正一位),就将被除数首位数置于既定的个位档上;如果差为2(即正二位),就将被除数首位数置于个位档左边的十位档上;如果差为0(即零位),就将被除数首位数置于个位档右边的十分位档上;如果差为-1(即负一位),就将被除数首位数置于个位档右边的百分位档上,其他依此类推。

不隔位商除法下,被除数首位数入盘的位置则以被除数的位数(m)与除数的位数(n)之差(即m-n)为基础来确定。

二、公式定位法

公式定位法,又称算后定位法。该法下,先将被除数首位数与除数首位数进行比较,然后以被除数的位数(m)与除数的位数(n)之差(即m-n)为基准来确定商数的位数。

具体有三种情形:

1.被首小,位相减

被除数首位数小于除数首位数时,被除数的位数减除数的位数,就是商数的位数。

即:商数的位数(以下简称商位)=m-n

2.被首大,减后加1

被除数首位数大于除数首位数时,被除数的位数减除数的位数加上1,就是商数的位数。

即:商位=m-n+1

3.首位等,比下位

如果被除数的首位数与除数的首位数相等时,就比较二者的第二位数,如果仍相等,就依次比较第三位数,依此类推,直至末位数,如果仍均相等,则视同被除数首位数大。

在比较过程中,只要二者不相等,就按照前述两种情形确定商数的位数。

第三节 常用的珠算除法

一、隔位商除法

商除法是指两数相除时,用被除数与除数进行比较,心算估商,然后用大九九口诀,将估算的商数与除数相乘,从被除数中减去乘积,得出商数。

这种方法的优点是运算原理与笔算除法基本类似,易学,计算速度快。

(一)隔位商除法的计算步骤

1.置数

采用固定个位法时,以m-n-1为基础确定被除数首位数应拨入的档位,依次布入被除数。

2.估商

用被除数除以除数,确定商数是几。

3.置商

够除,隔位商;不够除,挨位商。

4.减去乘积

置商后,按照从被除数首位数起,由高位到低位,从被除数中减去商数与除数的乘积。每置一次商即减一次乘积,直至达到要求为止。

5.确定商数

运算完成后,反映在算盘上的数,即为商数。

(二)隔位商除法的具体应用

1.一位除法

一位除法,是指除数只有一位非零数字的除法。不论被除数是多少位,只要除数是一位非零数字,都称为一位除法。

2.多位除法

多位除法,是指除数为两位或两位以上非零数字的除法。不论被除数是多少位,只要除数为两位或两位以上非零数字,都称为多位除法。

多位除法的运算原理与一位除法一致,只是在首次估商时,可以运用以下估商法则:(1)被除数首位数大于或等于除数的首位数,且除数的第二位数小于5时,在被除数首位数内运用除数首位数估商;(2)被除数首位数大于或等于除数的首位数,且除数的第二位数大于5时,在被除数首位数内运用除数首位数加1估商;(3)被除数首位数小于除数的首位数,且除数的第二位数小于5时,在被除数首位数和第二位数内运用除数首位数估商;(4)被除数首位数小于除数的首位数,且除数的第二位数大于5时,在被除数首位数和第二位数内运用除数首位数加1估商。在后续运算的估商中,依此类推。

二、不隔位商除法

改商除法又称挨位商除法,是对隔位商除法进行改进的一种运算方法,其运算原理与隔位商除法一致,只是在定位和置商时的档位有所不同。

这种方法的优点是占用档位少,简化了运算程序,拨珠次数相应减少,计算速度快。

改商除法的计算步骤是:

1.置数

采用固定个位法时,以m-n为基础确定被除数首位数应拨入的档位,依次布入被除数。

2.估商

用被除数除以除数,确定商数是几。

在首次估商时,可以运用以下估商法则:(1)被除数首位数大于或等于除数的首位数,且除数的第二位数小于5时,在被除数首位数内运用除数首位数估商;(2)被除数首位数大于或等于除数的首位数,且除数的第二位数大于5时,在被除数首位数内运用除数首位数加1估商;(3)被除数首位数小于除数的首位数,且除数的第二位数小于5时,在被除数首位数和第二位数内运用除数首位数估商;(4)被除数首位数小于除数的首位数,且除数的第二位数大于5时,在被除数首位数和第二位数内运用除数首位数加1估商。在后续运算的估商中,依此类推。

3.置商

够除,挨位商;不够除,本位改作商。

4.减积的档位

置商后,按照从被除数首位数起,由高位到低位,从被除数中减去商数与除数的乘积。每置一次商即减一次乘积,直至达到要求为止。

5.商数

运算完成后,反映在算盘上的数,就是商数。

三、省除法

省除法是指在不能整除的除法运算中,按要求省略余数并调整最末位商,使商数保留一定位数(如保留两位小数)的一种除法。因此,省除法下的商数为近似值。

采用固定个位法时,省除法较为简便,因为商数要求保留到哪位,就运算到哪位,然后比较余数与除数的前两位有效数字,若余数的前两位有效数字小于除数前两位有效数字的一半时,则舍去;反之,就在最末位的商数上加1.运算完成后,盘上数即为商数。

第四节 退商与补商

退商与补商是试商差误的矫正方法。

一、退商

在多位数除法运算过程中,估商过大导致被除数不够减去商与除数的乘积时,只能将商改小。如果开始置商就发现不够减乘积,就直接将商改小,直到够减为止。如果置商后已减过乘积后才发现商过大,只能退商,商数退几,就在置商右边相应的档位上,补加该数与除数的乘积。

二、补商

在运算中,估商过小导致被除数减去商与除数的乘积后,余数中含有除数的一倍甚至几倍,这时,有几倍就在商中再补加几,同时在被除数里减去几倍除数。

在被除数一定的情况下,由于对商影响较大的首先是除数的首位数,然后是除数的第二位数,因此,估商时可以运用估商法则。估商法则对大部分算题都能解决,解决不了的,仍需要退商与补商。

第五节 除法的简便算法

一、补数除法

补数除法是指在除数接近10的整数次幂的除法运算中,利用齐数与补数的关系,通过加减除数的补数来减少拨珠次数的一种简便除法。

在补数除法中,每次估定的商数是几,就在被除数相应档位加上该商数与除数补数的乘积(以下用P代替)。该乘积P视具体情况加入被除数:(1)被除数不够除时,就在下档加上P,但如果P的位数比补数位数多一位(积首进位),就在本档加上P.(2)被除数够除时,就在本档加上P,但如果P的位数比补数位数多一位,就在前档加上P.

在P加入被除数得出的和中,如果本档数字与估定的商相同,这个数字就是商数;如果不同,就需要退商或补商。

(一)补数加除法

补数加除法是指不需要退商的补数除法。其商数的确定有两种情形:(1)将P加入被除数得出的和中,如果本档数字与估定的商相同,这个数字就是商数;(2)如果本档数字比估定的商大,就继续加补数(即补商),调整使其一致。

当本档数字小于估定的商时,就用补数加减结合除法。

(二)补数加减结合除法

补数加减结合除法是指由于本档数字比估定的商小,需要减去补数(即退商)使其一致的补数除法。

二、倒数除法

在除法运算中,根据除法与乘法互逆的运算性质,可以以乘代除,即某数除以任何不为零的数,均可以乘以其倒数,这种方法叫做倒数除法。

这种方法的优点是:由于有些除数的倒数很容易求出,以乘代除,可以提高计算速度。